TAM SAYILAR ve TAM SAYILARDA 4 İŞLEM
Matematiğin neredeyse başlangıcı denebilecek aksiyomlar bütünüdür. 1
bir doğal sayıdır. Her doğal sayıya karşılık ardışığı diyeceğimiz bir
doğal sayı vardır. Ardışıkları eşit olan doğal sayılar bir birine
eşittir. Doğal sayılardan oluşan bir küme 1 doğal sayısıyla birlikte
her doğal sayıyı ardığışı ile birlikte içeriyorsa, o küme doğal sayılar
kümesinin aynısıdır. Tam sayılar küme sinin negatif sayı ı içermeyen en
kapsamlı alt kümesinin elemanları. Bu tanım M.E.B.müfredatında bulunan
bir tanımdır. \mathbb{N} = \left\{ 0,1,2,3,...\right\}
Doğal sayılar kümesinin 0 elemanı dışındaki elemanlarına sayma
sayıları denilir (\mathbb{N}^{+}). Üniversite müfredatında Doğal
Sayılar 1 den başlar. Yani üniversite müfredatında Doğal Sayılar
Kümesiyle Sayma Sayıları Kümesi aynıdır. Doğal sayılar kümesi sonsuz ve
sayılabilen bir kümedir. Tam sayılar , doğal sayılar (0, 1, 2, ...) ve
bunların negatif değerlerinden oluşur (-1, -2, -3, ...; -0 sayısı 0
sayısına eşit olduğundan ayrı bir tam sayı olarak sayılmaz). Matematik
te tam sayıların tümünü kapsayan küme genellikle Z (ya da \mathbb{Z}
şeklinde gösterilir). Burada "Z" harfi Almanca Zahlen (sayılar)
sözcüğünün baş harfinden gelmektedir.
Tam Sayılar Kümesi 0 dan mı başlar 1 den mi?
Bu konuda Matematikçilerin kesin bir fikir birliği olmamakla beraber
büyük çoğunluğu 0 sayısını doğal sayı olarak kabul etmektedirler. Doğal
Sayılar (Natural Numbers) adı üzerinde günlük hayatta karşılaştığımız
varlıkların sayısını belirtir. 1 elma , 2 ekmek, 10 lira gibi. Evet
bütün elmalar doğal olarak bir bütündür (tabi yarısını yiyip bırakırsak
kalan yarım doğal olmaz). Burada dikkat etmemiz gereken birşey şudur.
Nasıl 1,2,3 elmadan bahsedebiliyorsak; hiç elma olmama durumundanda
bahsedebiliriz (şu an bende olmadığı gibi). Buda doğal bir durumdur ve
sizce hangi sayı ile ifade edilmelidir. Tabi ki 0 ile... Ayrıca Doğal
Sayılarda dört işlem yapılabilmektedir. 0 sayısı olmadan basamaklardan.
onluk sistemden bahsedemeyeceğimiz için bencede 0 sayısı bir Doğal Sayı
olarak kabul edilmelidir. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} Sayma Sayılar
Kümesi ise 1 den başlamaktadır. Sınıfta yoklama yapılırken sadece
mevcutlar sayıldığı için 0 kullanılmaz.
0 ile 1 Neden Asal Sayı Değildir ?veya Asal Sayılar Neden 2 den başlar ?
Asal Sayıların tanımını iyi anlarsak sorunun cevabı anlaşılmış olur.
Asal Sayı; Sadece 1 ve kendisine bölünebilen doğal sayılardır. Demekki
Asal Sayılar doğal sayı olmalıdır. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ....}. İkinci
şart; 1 ve kendisine tam olarak bölünebilmelidir.Başka bir deyişle asal
sayıların tam 2 tane böleni olmalıdır. 0 sayısı bütün doğal sayılara
bölünebilir(0 hariç). 0 :1 = 0 ; 0 :2 = 0 ; 0 :10 = 0 ...Fakat 0 sayısı
kendisine bölünemez. 0 :0 = belirsizdir. Dolayısıyla 0 sayısı asal sayı
tanımına uymamaktadır.(Hem kendisine bölünemiyor, hemde bölen sayısı 2
den fazladır.) 1 sayısının ise sadece bir tane böleni vardır. 1 : 1 =
1, başka böleni olmadığı için asal sayı değildir. Tanımı sağlayan ilk
doğal sayı (çift sayı olmasına rağmen) 2'dir. 2 :1 = 2 1'e bölünebilir.
2 :2 = 1 Kendisine bölünebilir.
Toplama İşlemi:
a,b,c N a+b=c toplama işleminde, a ile b’ ye toplanan sayılar, c’ ye de toplam denir.
Toplama İşleminin Özellikleri
1) Kapalılık özelliği:İki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayıdır. a N b N için (a+b) N
2) Değişme özelliği:Toplama işleminde, toplanan sayıların yerleri
değişirse toplam değişmez. a N ve b N için; a+b=b+a Toplamanın:
1.Değişme.özelliği:a+b=b+a
3)birleşme özelliği:Üç doğal sayının toplamını bulmada, terimlerden
istenen ikisinin toplamı üçüncü ile toplanabilir.
2.Birleşme.özelliği:a+(b+c)=(a+b)+c Eğer a=b+k eşitliğini sağlayan
pozitif bir k sayısı varsa; a, b’den büyüktür denir. a>b şeklinde
gösterilir. Eğer a ve b herhangi iki pozitif sayı ise a=b, ab olur.
Ardarda yapılan toplama işlemiyle bir ikinci onluk sistem işlemi tarif
edilebilir. 5+5+5 şeklindeki a N,b N ve c N için; (a+b)+c=a+(b+c)
4) Etkisiz eleman:Sıfır sayısı,doğal sayılar kümesinde,toplama işlemine göre etkisiz elemandır.
Çıkarma İşlemi:
a,b N, a─b=a+(─b)=c çıkarma işleminde a eksilen,b çıkan,c farktır.
Çarpma İşlemi:
a,b,c N, a×b=c çarpma işleminde, a çarpan,b çarpan,c ise çarpımdır.
Çarpma İşleminin Özellikleri :
1) Kapalılık özelliği:İki doğal sayının çarpımı yine bir doğal sayıdır. a N,b N için; a×b=c,c N
2) Değişme özelliği :İki doğal sayı çarpılırken, elemanların yerleri değiştirildiği zaman sonuç değişmez. a,b N için; a×b=b×a
3) Birleşme özelliği: Üç doğal sayının çarpma işleminde,terimlerden
ikisinin çarpımı üçüncü ile çarpılabilir. a,b,c N için; (a×b)×c=a×(b×c)
4) Yutan eleman : Sıfır sayısı, doğal sayılar kümesinde, çarpma işlemine göre yutan elemandır.
5) Etkisiz eleman: Bir(1) sayısı,doğal sayılar kümesinde, çarpma işlemine göre etkisiz elemandır.
6) Dağılma özelliği: Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma
özelliği vardır. a,b,c N için; a×(b+c)=(a×b)+(a×c) a×(b-c)=(a×b)-(a×c)
bir işlem 3x5 şeklinde gösterilebilir. Böylece yapılan işleme çarpma
işlemi denir. 5 sayısı çarpılan, 3 sayısı çarpan, işlemin sonucu da
çarpım diye isimlendirilir. x sembolü çarpı diye okunur. Genellikle a.b
veya basitçe ab şeklinde de yazılabilir.
3. Çarpma işleminin değişme. özelliği : ab=ba
4.Çarpma.işleminin.birleşme.özelliği:a(bc)=(ab)c
5.Çarpmanın.toplama.üzerine.dağılma.özelliğia+b) c=ac+bc Ardarda
toplanan k kadar a’nın ka yazıldığı gibi, ardarda çarpılan k kadar a da
ak şeklinde yazılır. Burada a taban, k de üs diye adlandırılır.
Aşağıdaki Formüller Çarpma Tanımından Çıkarılabilir:
6.**.an=am+n
7.(**)n=amn
8.**.bm=(ab)m
9.**/an=am-n(m>n)
Bölme İşlemi:
a N, b {N─0} ve c,d N için; a÷b=c bölme işleminde, a bölünen, b bölen, c bölümdür.
Bölme işlemi:
Eğer üç pozitif a, b ve c sayıları arasında ab=c eşitliği
sağlanıyorsa a ve b’ye, c’nin bölenleri ve a ile b, c’yi böler denir.
b=a/c şeklinde yazılır. Bölmede bir sayısı etkisiz elemandır ve bütün
pozitif sayıların bölenidir. Eğer c sayısı, her biri birden büyük
pozitif bir sayı olan a, b sayılarının bir çarpımı şeklinde ab ile
gösterilirse c’ye asal olmayan sayı denir. Kendinden ve birden başka
sayıya bölünmeyen sayılar asal sayılardır. 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17,
19, 23, 29...
Pozitif sayılardan meydana gelen bir kümede bütün sayıları bölen en
büyük sayıya ortak bölenlerin en büyüğü (o.b.e.b.) denir. Pozitif bir m
sayısı diğer bir çok sayıların bir katı ise bu sayıya en küçük ortak
katsayı adı verilir. Bayağı kesirler: Bazı problemlerde bütün ölçüler
her zaman tam sayılarla ifade edilemezler. Genel olarak d.(1/d)=1
özelliğinden faydalanarak kesir birimi 1/d şeklinde gösterilir. a/d
kesrinde d’ye payda, a’ya da pay denir. a/d pozitif kesri eğer ad ise
bileşik kesir ismi verilir. Pozitif sayılar ve kesirler bazan pozitif
rasyonel sayılar diye de isimlendirilir. Genelde bütün pozitif rasyonel
sayılar için geçerli olan yukarıda gösterdiğimiz ilk beş kural, bayağı
kesirler için de geçerlidir. Kesir tanımından kolayca görüleceği gibi
paydaları aynı olan iki kesir, toplamı verilen kesirlerin paylarının
toplamı ile aynı paydadan meydana gelen bir kesirdir.
Farklı paydalara sahip kesirleri toplamak için mesela a/d ve b/c
kesirinde d ve c sayılarının en küçük ortak katları bulunur. m=k.d=f.c
eşitliğini sağlayan k ve f sayıları bulunduktan sonra işlem şöyle olur:
a/d=ka/kd=ka/m; b/c=fb/fc=fb/m böylece a/d+b/c=ka/m+fb/m=(ka+fb)/m İki
kesirin çarpımı ve bölümü aşağıdaki gibi tariflidir.
(a/d).(b/c)=(ab)/(bc), (a/b)c/d)= (a/b).(d/c)= (ad/bc) İrrasyonel
sayılar: a/b şeklinde ifade edilemeyen sayılardır. 3 5, 2 gibi sayılar
ve p (pi) bunlardandır. Onluk sistem: Bütün sayılar on’un kuvvetleri
şeklinde ifade edilebilir. Mesela 32158= 3.104+2.103+1.102+5.101+8.100
taban olarak 10’luk sistemin kullanılması ellerde 10 parmağın
olmasından ileri gelmektedir.
TAM SAYILAR
Matematiğin neredeyse başlangıcı denebilecek aksiyomlar bütünüdür. 1
bir doğal sayıdır. Her doğal sayıya karşılık ardışığı diyeceğimiz bir
doğal sayı vardır. Ardışıkları eşit olan doğal sayılar bir birine
eşittir. Doğal sayılardan oluşan bir küme 1 doğal sayısıyla birlikte
her doğal sayıyı ardığışı ile birlikte içeriyorsa, o küme doğal sayılar
kümesinin aynısıdır. Tam sayılar küme sinin negatif sayı ı içermeyen en
kapsamlı alt kümesinin elemanları. Bu tanım M.E.B.müfredatında bulunan
bir tanımdır. \mathbb{N} = \left\{ 0,1,2,3,...\right\} Doğal sayılar
kümesinin 0 elemanı dışındaki elemanlarına sayma sayıları denilir
(\mathbb{N}^{+}). Üniversite müfredatında Doğal Sayılar 1 den başlar.
Yani üniversite müfredatında Doğal Sayılar Kümesiyle Sayma Sayıları
Kümesi aynıdır. Doğal sayılar kümesi sonsuz ve sayılabilen bir kümedir.
Tam sayılar , doğal sayılar (0, 1, 2, ...) ve bunların negatif
değerlerinden oluşur (-1, -2, -3, ...; -0 sayısı 0 sayısına eşit
olduğundan ayrı bir tam sayı olarak sayılmaz). Matematik te tam
sayıların tümünü kapsayan küme genellikle Z (ya da \mathbb{Z} şeklinde
gösterilir). Burada "Z" harfi Almanca Zahlen (sayılar) sözcüğünün baş
harfinden gelmektedir. 2- Tam Sayılar Künesi 0 dan mı başlar 1 den mi?
Bu konuda Matematikçilerin kesin bir fikir birliği olmamakla beraber
büyük çoğunluğu 0 sayısını doğal sayı olarak kabul etmektedirler. Doğal
Sayılar (Natural Numbers) adı üzerinde günlük hayatta karşılaştığımız
varlıkların sayısını belirtir. 1 elma , 2 ekmek, 10 lira gibi. Evet
bütün elmalar doğal olarak bir bütündür (tabi yarısını yiyip bırakırsak
kalan yarım doğal olmaz). Burada dikkat etmemiz gereken birşey şudur.
Nasıl 1,2,3 elmadan bahsedebiliyorsak; hiç elma olmama durumundanda
bahsedebiliriz (şu an bende olmadığı gibi). Buda doğal bir durumdur ve
sizce hangi sayı ile ifade edilmelidir. Tabiki 0 ile... Ayrıca Doğal
Sayılarda dört işlem yapılabilmektedir. 0 sayısı olmadan basamaklardan.
onluk sistemden bahsedemiyeceğimiz için bencede 0 sayısı bir Doğal Sayı
olarak kabul edilmelidir. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} Sayma Sayılar
Kümesi ise 1 den başlamaktadır. Sınıfta yoklama yapılırken sadece
mevcutlar sayıldığı için 0 kullanılmaz. 0 ile 1 Neden Asal Sayı
Değildir?veya Asal Sayılar Neden 2 den başlar? Asal Sayıların tanımını
iyi anlarsak sorunun cevabı anlaşılmış olur. Asal Sayı; Sadece 1 ve
kendisine bölünebilen doğal sayılardır. Demekki Asal Sayılar doğal sayı
olmalıdır. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ....}. İkinci şart; 1 ve kendisine
tam olarak bölünebilmelidir.Başka bir deyişle asal sayıların tam 2 tane
böleni olmalıdır. 0 sayısı bütün doğal sayılara bölünebilir(0 hariç). 0
:1 = 0 ; 0 :2 = 0 ; 0 :10 = 0 ...Fakat 0 sayısı kendisine bölünemez. 0
:0 = belirsizdir. Dolayısıyla 0 sayısı asal sayı tanımına
uymamaktadır.(Hem kendisine bölünemiyor, hemde bölen sayısı 2 den
fazladır.) 1 sayısının ise sadece bir tane böleni vardır. 1 : 1 = 1,
başka böleni olmadığı için asal sayı değildir. Tanımı sağlayan ilk
doğal sayı (çift sayı olmasına rağmen) 2'dir. 2 :1 = 2 1'e bölünebilir.
2 :2 = 1 Kendisine bölünebilir.
[size=12]TAM SAYILAR [/size]
Matematiğin neredeyse başlangıcı denebilecek aksiyomlar bütünüdür. 1
bir doğal sayıdır. Her doğal sayıya karşılık ardışığı diyeceğimiz bir
doğal sayı vardır. Ardışıkları eşit olan doğal sayılar bir birine
eşittir. Doğal sayılardan oluşan bir küme 1 doğal sayısıyla birlikte
her doğal sayıyı ardığışı ile birlikte içeriyorsa, o küme doğal sayılar
kümesinin aynısıdır. Tam sayılar küme sinin negatif sayı ı içermeyen en
kapsamlı alt kümesinin elemanları. Bu tanım M.E.B.müfredatında bulunan
bir tanımdır. \mathbb{N} = \left\{ 0,1,2,3,...\right\}
Doğal sayılar kümesinin 0 elemanı dışındaki elemanlarına sayma
sayıları denilir (\mathbb{N}^{+}). Üniversite müfredatında Doğal
Sayılar 1 den başlar. Yani üniversite müfredatında Doğal Sayılar
Kümesiyle Sayma Sayıları Kümesi aynıdır. Doğal sayılar kümesi sonsuz ve
sayılabilen bir kümedir. Tam sayılar , doğal sayılar (0, 1, 2, ...) ve
bunların negatif değerlerinden oluşur (-1, -2, -3, ...; -0 sayısı 0
sayısına eşit olduğundan ayrı bir tam sayı olarak sayılmaz). Matematik
te tam sayıların tümünü kapsayan küme genellikle Z (ya da \mathbb{Z}
şeklinde gösterilir). Burada "Z" harfi Almanca Zahlen (sayılar)
sözcüğünün baş harfinden gelmektedir.
Tam Sayılar Kümesi 0 dan mı başlar 1 den mi?
Bu konuda Matematikçilerin kesin bir fikir birliği olmamakla beraber
büyük çoğunluğu 0 sayısını doğal sayı olarak kabul etmektedirler. Doğal
Sayılar (Natural Numbers) adı üzerinde günlük hayatta karşılaştığımız
varlıkların sayısını belirtir. 1 elma , 2 ekmek, 10 lira gibi. Evet
bütün elmalar doğal olarak bir bütündür (tabi yarısını yiyip bırakırsak
kalan yarım doğal olmaz). Burada dikkat etmemiz gereken birşey şudur.
Nasıl 1,2,3 elmadan bahsedebiliyorsak; hiç elma olmama durumundanda
bahsedebiliriz (şu an bende olmadığı gibi). Buda doğal bir durumdur ve
sizce hangi sayı ile ifade edilmelidir. Tabi ki 0 ile... Ayrıca Doğal
Sayılarda dört işlem yapılabilmektedir. 0 sayısı olmadan basamaklardan.
onluk sistemden bahsedemeyeceğimiz için bencede 0 sayısı bir Doğal Sayı
olarak kabul edilmelidir. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} Sayma Sayılar
Kümesi ise 1 den başlamaktadır. Sınıfta yoklama yapılırken sadece
mevcutlar sayıldığı için 0 kullanılmaz.
0 ile 1 Neden Asal Sayı Değildir ?veya Asal Sayılar Neden 2 den başlar ?
Asal Sayıların tanımını iyi anlarsak sorunun cevabı anlaşılmış olur.
Asal Sayı; Sadece 1 ve kendisine bölünebilen doğal sayılardır. Demekki
Asal Sayılar doğal sayı olmalıdır. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ....}. İkinci
şart; 1 ve kendisine tam olarak bölünebilmelidir.Başka bir deyişle asal
sayıların tam 2 tane böleni olmalıdır. 0 sayısı bütün doğal sayılara
bölünebilir(0 hariç). 0 :1 = 0 ; 0 :2 = 0 ; 0 :10 = 0 ...Fakat 0 sayısı
kendisine bölünemez. 0 :0 = belirsizdir. Dolayısıyla 0 sayısı asal sayı
tanımına uymamaktadır.(Hem kendisine bölünemiyor, hemde bölen sayısı 2
den fazladır.) 1 sayısının ise sadece bir tane böleni vardır. 1 : 1 =
1, başka böleni olmadığı için asal sayı değildir. Tanımı sağlayan ilk
doğal sayı (çift sayı olmasına rağmen) 2'dir. 2 :1 = 2 1'e bölünebilir.
2 :2 = 1 Kendisine bölünebilir.
TAM SAYILARDA 4 İŞLEM
Toplama İşlemi:
a,b,c N a+b=c toplama işleminde, a ile b’ ye toplanan sayılar, c’ ye de toplam denir.
Toplama İşleminin Özellikleri
1) Kapalılık özelliği:İki doğal sayının toplamı yine bir doğal sayıdır. a N b N için (a+b) N
2) Değişme özelliği:Toplama işleminde, toplanan sayıların yerleri
değişirse toplam değişmez. a N ve b N için; a+b=b+a Toplamanın:
1.Değişme.özelliği:a+b=b+a
3)birleşme özelliği:Üç doğal sayının toplamını bulmada, terimlerden
istenen ikisinin toplamı üçüncü ile toplanabilir.
2.Birleşme.özelliği:a+(b+c)=(a+b)+c Eğer a=b+k eşitliğini sağlayan
pozitif bir k sayısı varsa; a, b’den büyüktür denir. a>b şeklinde
gösterilir. Eğer a ve b herhangi iki pozitif sayı ise a=b, ab olur.
Ardarda yapılan toplama işlemiyle bir ikinci onluk sistem işlemi tarif
edilebilir. 5+5+5 şeklindeki a N,b N ve c N için; (a+b)+c=a+(b+c)
4) Etkisiz eleman:Sıfır sayısı,doğal sayılar kümesinde,toplama işlemine göre etkisiz elemandır.
Çıkarma İşlemi:
a,b N, a─b=a+(─b)=c çıkarma işleminde a eksilen,b çıkan,c farktır.
Çarpma İşlemi:
a,b,c N, a×b=c çarpma işleminde, a çarpan,b çarpan,c ise çarpımdır.
Çarpma İşleminin Özellikleri :
1) Kapalılık özelliği:İki doğal sayının çarpımı yine bir doğal sayıdır. a N,b N için; a×b=c,c N
2) Değişme özelliği :İki doğal sayı çarpılırken, elemanların yerleri değiştirildiği zaman sonuç değişmez. a,b N için; a×b=b×a
3) Birleşme özelliği: Üç doğal sayının çarpma işleminde,terimlerden
ikisinin çarpımı üçüncü ile çarpılabilir. a,b,c N için; (a×b)×c=a×(b×c)
4) Yutan eleman : Sıfır sayısı, doğal sayılar kümesinde, çarpma işlemine göre yutan elemandır.
5) Etkisiz eleman: Bir(1) sayısı,doğal sayılar kümesinde, çarpma işlemine göre etkisiz elemandır.
6) Dağılma özelliği: Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma
özelliği vardır. a,b,c N için; a×(b+c)=(a×b)+(a×c) a×(b-c)=(a×b)-(a×c)
bir işlem 3x5 şeklinde gösterilebilir. Böylece yapılan işleme çarpma
işlemi denir. 5 sayısı çarpılan, 3 sayısı çarpan, işlemin sonucu da
çarpım diye isimlendirilir. x sembolü çarpı diye okunur. Genellikle a.b
veya basitçe ab şeklinde de yazılabilir.
3. Çarpma işleminin değişme. özelliği : ab=ba
4.Çarpma.işleminin.birleşme.özelliği:a(bc)=(ab)c
5.Çarpmanın.toplama.üzerine.dağılma.özelliğia+b) c=ac+bc Ardarda
toplanan k kadar a’nın ka yazıldığı gibi, ardarda çarpılan k kadar a da
ak şeklinde yazılır. Burada a taban, k de üs diye adlandırılır.
Aşağıdaki Formüller Çarpma Tanımından Çıkarılabilir:
6.**.an=am+n
7.(**)n=amn
8.**.bm=(ab)m
9.**/an=am-n(m>n)
Bölme İşlemi:
a N, b {N─0} ve c,d N için; a÷b=c bölme işleminde, a bölünen, b bölen, c bölümdür.
Bölme işlemi:
Eğer üç pozitif a, b ve c sayıları arasında ab=c eşitliği
sağlanıyorsa a ve b’ye, c’nin bölenleri ve a ile b, c’yi böler denir.
b=a/c şeklinde yazılır. Bölmede bir sayısı etkisiz elemandır ve bütün
pozitif sayıların bölenidir. Eğer c sayısı, her biri birden büyük
pozitif bir sayı olan a, b sayılarının bir çarpımı şeklinde ab ile
gösterilirse c’ye asal olmayan sayı denir. Kendinden ve birden başka
sayıya bölünmeyen sayılar asal sayılardır. 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17,
19, 23, 29...
Pozitif sayılardan meydana gelen bir kümede bütün sayıları bölen en
büyük sayıya ortak bölenlerin en büyüğü (o.b.e.b.) denir. Pozitif bir m
sayısı diğer bir çok sayıların bir katı ise bu sayıya en küçük ortak
katsayı adı verilir. Bayağı kesirler: Bazı problemlerde bütün ölçüler
her zaman tam sayılarla ifade edilemezler. Genel olarak d.(1/d)=1
özelliğinden faydalanarak kesir birimi 1/d şeklinde gösterilir. a/d
kesrinde d’ye payda, a’ya da pay denir. a/d pozitif kesri eğer ad ise
bileşik kesir ismi verilir. Pozitif sayılar ve kesirler bazan pozitif
rasyonel sayılar diye de isimlendirilir. Genelde bütün pozitif rasyonel
sayılar için geçerli olan yukarıda gösterdiğimiz ilk beş kural, bayağı
kesirler için de geçerlidir. Kesir tanımından kolayca görüleceği gibi
paydaları aynı olan iki kesir, toplamı verilen kesirlerin paylarının
toplamı ile aynı paydadan meydana gelen bir kesirdir.
Farklı paydalara sahip kesirleri toplamak için mesela a/d ve b/c
kesirinde d ve c sayılarının en küçük ortak katları bulunur. m=k.d=f.c
eşitliğini sağlayan k ve f sayıları bulunduktan sonra işlem şöyle olur:
a/d=ka/kd=ka/m; b/c=fb/fc=fb/m böylece a/d+b/c=ka/m+fb/m=(ka+fb)/m İki
kesirin çarpımı ve bölümü aşağıdaki gibi tariflidir.
(a/d).(b/c)=(ab)/(bc), (a/b)c/d)= (a/b).(d/c)= (ad/bc) İrrasyonel
sayılar: a/b şeklinde ifade edilemeyen sayılardır. 3 5, 2 gibi sayılar
ve p (pi) bunlardandır. Onluk sistem: Bütün sayılar on’un kuvvetleri
şeklinde ifade edilebilir. Mesela 32158= 3.104+2.103+1.102+5.101+8.100
taban olarak 10’luk sistemin kullanılması ellerde 10 parmağın
olmasından ileri gelmektedir.
TAM SAYILAR
Matematiğin neredeyse başlangıcı denebilecek aksiyomlar bütünüdür. 1
bir doğal sayıdır. Her doğal sayıya karşılık ardışığı diyeceğimiz bir
doğal sayı vardır. Ardışıkları eşit olan doğal sayılar bir birine
eşittir. Doğal sayılardan oluşan bir küme 1 doğal sayısıyla birlikte
her doğal sayıyı ardığışı ile birlikte içeriyorsa, o küme doğal sayılar
kümesinin aynısıdır. Tam sayılar küme sinin negatif sayı ı içermeyen en
kapsamlı alt kümesinin elemanları. Bu tanım M.E.B.müfredatında bulunan
bir tanımdır. \mathbb{N} = \left\{ 0,1,2,3,...\right\} Doğal sayılar
kümesinin 0 elemanı dışındaki elemanlarına sayma sayıları denilir
(\mathbb{N}^{+}). Üniversite müfredatında Doğal Sayılar 1 den başlar.
Yani üniversite müfredatında Doğal Sayılar Kümesiyle Sayma Sayıları
Kümesi aynıdır. Doğal sayılar kümesi sonsuz ve sayılabilen bir kümedir.
Tam sayılar , doğal sayılar (0, 1, 2, ...) ve bunların negatif
değerlerinden oluşur (-1, -2, -3, ...; -0 sayısı 0 sayısına eşit
olduğundan ayrı bir tam sayı olarak sayılmaz). Matematik te tam
sayıların tümünü kapsayan küme genellikle Z (ya da \mathbb{Z} şeklinde
gösterilir). Burada "Z" harfi Almanca Zahlen (sayılar) sözcüğünün baş
harfinden gelmektedir. 2- Tam Sayılar Künesi 0 dan mı başlar 1 den mi?
Bu konuda Matematikçilerin kesin bir fikir birliği olmamakla beraber
büyük çoğunluğu 0 sayısını doğal sayı olarak kabul etmektedirler. Doğal
Sayılar (Natural Numbers) adı üzerinde günlük hayatta karşılaştığımız
varlıkların sayısını belirtir. 1 elma , 2 ekmek, 10 lira gibi. Evet
bütün elmalar doğal olarak bir bütündür (tabi yarısını yiyip bırakırsak
kalan yarım doğal olmaz). Burada dikkat etmemiz gereken birşey şudur.
Nasıl 1,2,3 elmadan bahsedebiliyorsak; hiç elma olmama durumundanda
bahsedebiliriz (şu an bende olmadığı gibi). Buda doğal bir durumdur ve
sizce hangi sayı ile ifade edilmelidir. Tabiki 0 ile... Ayrıca Doğal
Sayılarda dört işlem yapılabilmektedir. 0 sayısı olmadan basamaklardan.
onluk sistemden bahsedemiyeceğimiz için bencede 0 sayısı bir Doğal Sayı
olarak kabul edilmelidir. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} Sayma Sayılar
Kümesi ise 1 den başlamaktadır. Sınıfta yoklama yapılırken sadece
mevcutlar sayıldığı için 0 kullanılmaz. 0 ile 1 Neden Asal Sayı
Değildir?veya Asal Sayılar Neden 2 den başlar? Asal Sayıların tanımını
iyi anlarsak sorunun cevabı anlaşılmış olur. Asal Sayı; Sadece 1 ve
kendisine bölünebilen doğal sayılardır. Demekki Asal Sayılar doğal sayı
olmalıdır. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ....}. İkinci şart; 1 ve kendisine
tam olarak bölünebilmelidir.Başka bir deyişle asal sayıların tam 2 tane
böleni olmalıdır. 0 sayısı bütün doğal sayılara bölünebilir(0 hariç). 0
:1 = 0 ; 0 :2 = 0 ; 0 :10 = 0 ...Fakat 0 sayısı kendisine bölünemez. 0
:0 = belirsizdir. Dolayısıyla 0 sayısı asal sayı tanımına
uymamaktadır.(Hem kendisine bölünemiyor, hemde bölen sayısı 2 den
fazladır.) 1 sayısının ise sadece bir tane böleni vardır. 1 : 1 = 1,
başka böleni olmadığı için asal sayı değildir. Tanımı sağlayan ilk
doğal sayı (çift sayı olmasına rağmen) 2'dir. 2 :1 = 2 1'e bölünebilir.
2 :2 = 1 Kendisine bölünebilir.
